ACM数论总结

断断续续的学习数论已经有一段时间了，学得也很杂，现在进行一些简单的回顾和总结。

学过的东西不能忘啊。。。

1、本原勾股数：

概念：一个三元组(a,b,c)，其中a,b,c没有公因数而且满足：a^2+b^2=c^2

首先，这种本原勾股数的个数是无限的，而且构造的条件满足：

a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2

其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数！

由以上概念就可以导出任意一个本原勾股数组。

2、素数计数（素数定理）

令π(x)为1到x中素数的个数

19世纪最高的数论成就就是以下这个玩意儿：

lim(x->∞){π(x)/(x/ln(x))}=1

数论最高成就，最高成就！！！有木有！！！

3、哥德巴赫猜想(1+1)

一个大偶数(>=4)必然可以拆分为两个素数的和，虽然目前还没有人能够从理论上进行证明，不过我根据科学家们利用计算机运算的结果，如果有一个偶数不能进行拆分，那么这个偶数至少是一个上百位的数！！

所以在ACM的世界中（数据量往往只有2^63以下）哥德巴赫猜想是成立的！！所以拆分程序一定能够实现的

4、哥德巴赫猜想的推广

任意一个>=8的整数一定能够拆分为四个素数的和

证明：

先来说8=2+2+2+2，（四个最小素数的和）不能再找到比2小的素数了，所以当n小于8，就一定不可能拆分为四个素数的和！

那么当n大于等于8，可以分情况讨论：

（1）n&1==0(n为偶数)，那么n就一定可以拆分为两个偶数的和

那么根据哥德巴赫猜想，偶数可以拆分为两个素数的和，于是，n一定可以拆分为四个素数的和

（2）n&1==1(n为奇数)，n一定可以拆分为两个偶数+1

由于有一个素数又是偶数，2，那么奇数一定有如下拆分：2+3+素数+素数

得证。

5、欧拉函数（欧拉公式）

欧拉函数ph(n)的意思是所有小于n且与n互质的数的个数

比如说ph(12)=4,[1,5,7,11与12互质]

欧拉公式

a^ph(m)=1(mod m)

6、费马小定理

费马小定理是欧拉公式的一种特殊情况

由于当p为质数的时候ph(p)=p-1这是显然的

那么带入欧拉公式就得到了费马小定理

a^(p-1)=1(mod p)

p为质数(prime)

7、抽屉原理

抽屉原理其实是废话，关键在于运用

这句废话是说，如果现在有3个苹果，放进2个抽屉，那么至少有一个抽屉里面会有两个苹果，这个很废话。

8、抽屉原理的运用

抽屉原理本身只是一句废话，不过他的运用却非常强大

现在假设有一个正整数序列a1,a2,a3,a4.....an，试证明我们一定能够找到一段连续的序列和，让这个和是n的倍数，该命题的证明就用到了抽屉原理

我们可以先构造一个序列si=a1+a2+...ai

然后分别对于si取模，如果其中有一个sk%n==0，那么a1+a2+...+ak就一定是n的倍数（该种情况得证）

下面是上一种情况的反面，即任何一个sk对于n的余数都不为0

对于这种情况，我们可以如下考虑，因为si%n!=0

那么si%n的范围必然在1——（n-1），所以原序列si就产生了n个范围在1——（n-1）的余数，于是抽屉原理就来了，n个数放进n-1个盒子里面，必然至少有两个余数会重复，那么这两个sk1,sk2之差必然是n的倍数，

而sk1-sk2是一段连续的序列，那么原命题就得到了证明了

9、判断n!是否能够被m整除

计算方法是把m进行质因数分解，看下m的每一个质因数是否能够在n!中找到；

n!中间包含了多少个x(x是任意的一个数，不过一般情况下我们都只讨论x为质数)，这种问题的答案是：
n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超过n]，这个定理的证明也非常的简单，这里就不再赘述了

根据以上观点，就可以分别计算m的每一个质因数是否被完全包含，如果有一个没有被包含，那么就不能被整除！

10、因子和的计算方法

神马叫因子和：一个数的所以因子的和就叫因子和。。。

好吧，举个例子：12的因子和为：1+2+3+4+6+12

计算方法是把12分解为质因数的表达形式2^2*3

那么他的因子和就是：(1+2+2^2)*(1+3)

证明写起来比较麻烦，大体上思路就是牛顿二项式。。。

11、判断组合数C(n,m)的奇偶性

有一个我也不知道证明的方法

当n&m==m为奇数，反之就是偶数

12、中国剩余定理(孙子定理，韩信点兵，等等都是说的一个东西)

这个问题处理的是同余方程

假设

x%a1=b1

x%a2=b2

x%a3=b3

.....

x%an=bn

a,b必须互质，否则就不是中国剩余定理了

我们可以先求一个M=a1*a2*a3*a4.....*an

然后对于每一个方程都求一个顺元m

m[i]=M/a[i]

然后再求每一个方程的逆元re_m

re_m[i]={m[i]^(ph(a[i])-1)}%a[i]

最后我们可以得到的解就是x={sigma(re_m[i]*m[i]*b[i])}%M

神马顺元，逆元的，虽然名字很高端，其实就那么回事，看懂了就行了

就总结到这儿了。

以前大一也总结过一片类似的，不过那时候之总结了一点关于欧几里得算法之类的。

——bingshen