UVA 10090 扩展欧几里得算法

题目连接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=12&problem=1031&mosmsg=Submission+received+with+ID+8778298

这道题的数据规模达到了惊人的2*10^9，所以得用long才能装得下而且只要有一丝的暴力思想就会TLE

仔细观察题目可以发现如果每一个盒子都要装满的话，则必须满足以下条件：

am1+bm2=n

这个式子很像那个扩展欧几里得里面的那个，于是很容易联想到

ax+by=gcd(a,b)=g

根绝这个方程的特点，可以判断，如果n%gcd(a,b)!=0的话，则无解（参见《数论概论》）

于是联立这两个方程我们可以解出m1，m2

解出来m1=nx/g m2=ny/g

那么通解则应该是m1=nx/g+bt/g m2=ny/g-at/g（注意这里不能直接用ax+by=g的最小解来计算m1和m2，另外t是一个整数）

由题目的意思，可以判断m1和m2不可能为负数

于是m1>=0,m2>=0

这样我们可以解出t的范围：-nx/b<=t<=ny/a 这里的t必须是整数

我们假定:

t1=ceil(-nx/b)

t2=floor(ny/b)

如果t1>t2的话则t就没有一个可行的解，于是肯定也是无解的情况，所以输出不可能的两种情况就明确了

接下来，我们再来计算最终的价格V

V=va*m1+vb*m2

带入m1和m2的表达式可以得到

V=va*(xn/g+bt/g)+vb*(yn/g-at/g)

=((b*va-a*vb)/g)*t+(va*xn+vb*yn)/g

这个很明显是关于t的一个一次函数（出了t意外的数都是常数）

于是V(t)的单调性由(b*va-a*vb)来确定

所以当b*va-a*vb>=0的时候，t就要取最小才能让V(t)最小

反之，则t要去取最大才行

这里t的范围(定义域)已经是确定了的，所以t只有可能有两个取值

就是t1或者t2

剩下的问题就很明确了，得到t之后，再把t的值带入m1 m2的式子里面就可以计算出答案了

我的代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>

long extend_gcd(long a,long b,long *x,long *y)
{
	long g,x1,y1;
	if(a<b)
		return extend_gcd(b,a,y,x);
	if(b==0)
	{
		*x=1;
		*y=0;
		return a;
	}
	else
	{
		g=extend_gcd(b,a%b,&x1,&y1);
		*x=y1;
		*y=(x1-a/b*y1);
		return g;
	}
}

int main()
{
	long a,b,va,vb,n,t1,t2,g,t,x,y,ansa,ansb;
	double temp1,temp2;
	while(scanf("%ld",&n)!=EOF)
	{
		if(n==0)
			break;
		scanf("%ld%ld%ld%ld",&va,&a,&vb,&b);
		g=extend_gcd(a,b,&x,&y);
		t1=ceil(-1.0*n*x/b);
		t2=floor(1.0*n*y/a);
		if((t1>t2)||(n%g!=0))
		{
			printf("failed/n");
			continue;
		}
		if(b*va-a*vb>0)
			t=t1;
		else
			t=t2;
		ansa=n*x/g+b*t/g;
		ansb=n*y/g-a*t/g;
		printf("%ld %ld/n",ansa,ansb);
	}
	return 0;
}